Un problema matematico

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1. 11
   topodiddl - 22 Febbraio 2007 10:31

   Ok la sparo li… il concetto è lo stesso del problema che ho risolto delle 9 monete… e consiste nel dividere a gruppi.

   Per ottenere il numero minimo di pesate quale è la soluzione? Quella di formare tanti gruppi e confrontarli… però avendo solo 2 piatti sulla bilancia i gruppi che posso formare sono 3… due li confronto e la moneta o è in uno dei due gruppi (il più leggero) oppure è in quello non pesato.

   Ora in matematica non sono molto pratico e non so come riportare questo concetto in una formula… ma il numero di pesate necessario è dato dal numero di volte che è divisibile per 3 il numero di monete che voglio pesare + 1.

   Nel caso delle 1000 monete:
   (i valori tra parentesi sono riferiti al caso del gruppo più numeroso)

   1) 333 – 333 – 334
   peso i 2 da 333 e può essere o in uno dei 2 gruppi o nel gruppo 334

   2) 111 – 111 – 111(112)
   peso 2 gruppi da 111 e ne lascio fuori 111(o 112 se era nel gruppo 334)

   3) 37 – 37 – 37(38)
   stessa cosa di sopra

   4) 12(13) – 12(13) – 13(12)
   sempre stesso concetto

   5) 4 – 4 – 4(5)
   idem come sopra

   6) 2 – 2 – (1)
   a questo punto invece non essendo più divisibili con una ulteriore pesata si ha la soluzione

   7) 1 – 1

   Come ho scritto sopra però non ho le conoscenze matematiche per scrivere una formula che indichi questo procedimento… anche se credo sia questa la soluzione.

2. 12
   gello - 22 Febbraio 2007 11:15

   Questo è un inizio di ragionamento, ma non è rigoroso, e non porta lontano se non hai un metodo.La formula non richiede nessuna conoscenza matematica ma solo raagionamento.

3. 13
   Fabio47 - 22 Febbraio 2007 12:03

   Anch’io avevo pensato a qualcosa di molto simile a Topodiddl ….

4. 14
   topodiddl - 22 Febbraio 2007 13:00

   gello e ponale sono la stessa persona?

   Comunque mi spiace contraddirti ma per scrivere una formula servono conoscenze matematiche e io ammetto di non averne.

   Il concetto te l’ho espresso a parole di più non riesco… provo a dirtelo così forse ti piace di più.

   Dato un numero n di monete si divide per 3 facendo attenzione ad avere almeno 2 mucchi con lo stesso numero di monete; si pesano i due mucchi uguali lasciando fuori quello che un numero diverso di monete.

   Si individua il gruppo che contiene la moneta falsa tra i 3 (se sono in equilibrio è quello non pesato se no è il più leggero) e si ripete fin tanto che si possono fare 3 mucchi dei quali 2 uguali.

   Una volta che non si possono fare più gruppi o abbiamo trovato la moneta o vuol dire che abbiamo 4 monete.

   In quel caso con altre 2 pesate si trova come indicato nel commento n.11 qua sopra.

   Ora come ti ho già detto non sono capace di scrivere questo su una formula.

5. 15
   gello - 23 Febbraio 2007 07:44

   Ok, bisogna dividere in 3 mucchi di cui almeno 2 uguali, dici bene. Ma alla fine non necessariamente rimangono 4 monete. Comunque la formula richiede conoscenze di aritmetica che possiede già un ragazzo alla fine delle scuole MEDIE!!! Serve solo un gran ragionamento.

6. 16
   alessia1978 - 5 Marzo 2007 15:17

   ciao, a tutti

   la soluzione è p=p(n) il numero di pesate è uguale a

   p=[ln(n)/ln(3)];

   dove [ * ] indica l’arrotondamento all’intero superiore.

7. 17
   alessia1978 - 5 Marzo 2007 16:51

   bella li ragazzi sentite questa generalizzazione?

   se la “bilancia ideale” avesse r piatti e non due.

   non è una complicazione …

8. 18
   ponale - 17 Marzo 2007 22:14

   Esatto , la hai trovata su google? Per un numero di piatti si ha ln(n) / ln (x+1) il tutto arrotondato all’intero successivo. E le ho scoperte da solo, non in rete.

9. 19
   Mirco - 7 Febbraio 2008 22:43

   beh se scrivi la soluzione come ln(n)/ln3 significa che hai trovato la soluzione in rete, almeno a mio avviso, comunque e facilissimo trovare che la soluzione e logaritmo in base 3 di n, che attraverso il teorema del cambiamento di base da la formula di prima
   In generale se ho X possibili casi da differenziare (in questo caso ne ho n perche ho n possibilita diverse, ognuna per ogni moneta che potebbe essere quella falsa ) e ad ogni scelta (pesata nel nostro caso) posso dividire in ‘a’ sottocasi, allora ho bisogno di logaritmo in base a di X decisioni, o ln(X)/ln(a)
   Ad esempio se io ho mille monete e la moneta può essere sia piu pesante sia piu leggera e io avendo la bilancia a 2 piatti posso dividire in 3 casi (equilibrio e si alza il primo o si alza il secondo) avrò 2000 casi possibili (1000 possibilita di scegliere la falsa e due modi di scegliere se pesa di piu o di meno), e avrò bisogno di almeno ln2000/ln3 pesate.Questo però e il limite minimo, se provate anche solo con una ventina di monete tocca usare pesante aggiuntive.
   Per chi conosce i concetti matematici (o piu che altro informatici) di albero a più vie basta pensare ai possibili casi come foglie di un albero ad ‘a’ vie e il numero minimo pesate e l’altezza minima che deve avere un albero di tale tipo per avere almeno X foglie, ogni foglia rappresenta un ‘caso’ e ogni nodo una pesata.
   Vedere anche alberi decisionali

   ma visto che si cercava una semplice ragionamento ecco qui quello che mi sembra piu facile da capire:
   immaginate di poter elencare tutti i possibili casi: saranno el tipo la moneta falsa e la prima, la seconda, la terza, etc.. fino alla ennesima, ora ad ogni pesata come è evidente si potranno scartare al massimo due terzi dei casi
   infatti io posso dividere in tre i casi e abbinarli ognuno ad un risultato della pesata (esempio bilancia piatta->moneta falsa sul gruppo non pesato etc..)
   Ora per eliminare piu monete possibili gli insiemi devono essere equilibrati, quindi contenenti ognuno un terzo dei casi possibili.
   Quindi ad ogni pesata divido per tre i casi possibili, perciò per arrivare ad un solo caso devo dividere per 3 tante volte quante sono le volte che devo dividere per 3 n per ottenere 1, ovvero il logaritmo in base 3 di n.
   Piccola nota: i logaritmi da quel che so io alle medie non si fanno, quindi un minimo di matematica “avanzata” serve.

   per generalizzare a n piatti basta aumentare il quoziente per cui dividere ad ogni pesata.

10. 20
    ChiaraMente - 8 Febbraio 2008 13:16

    Io pensavo tre pesate.. la prima di quattro contro quattro, la seconda prendendo quella che pesa meno dividendo in una pesata da due e due, la terza prendendo la pesata inferiore divisa in uno e uno…

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